Seahorse Valley  

Robert P. Munafo, 2010 Sep 7.



Colloquial name for the cusps between R2a and R2.1/2a, particularly the upper one, R2.C(1/2-). See R2.C(1/2).

-0.75 +0.08 i  0.16, Nmax: 10000
-0.75 +0.08 i @ 0.16, Nmax: 10000
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The upper Seahorse valley is shown in the picture. The right side, those parts attached to the continent seed, is part of the Shoulder, and the left side is part of the Head.

Seahorse Valley zoom sequence

The following zoom sequence is a permanent part of the Mandelbrot set culture. It goes back at least as far as the 1985 Scientific American article, and probably originates with Peitgen and Richter. (These images do not show the same mu-unit and filaments as the article, and the colors and aspect ratios of the frames differ as well.)

-0.74548 + 0.11669 i  0.01276, Nmax: 15000
-0.74548 + 0.11669 i @ 0.01276, Nmax: 15000
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R2.13/27a and R2F(13/27B*)
(Page 18, figure a) One of the mu-atoms, R2.13/27a, and its attached filaments.

The largest complete mu-atom in this image is R2.13/27a.

There is one large peacock eye, the point at its center is the branch point R2F(13/27B*).

On the west side of the valley we find double spirals in place of the peacock eyes.

The largest visible island is R2F(13/27B2)S and the branch ending in a spiral is R2F(13/27B2).

-0.745067 +0.118346 i  0.0007
-0.745067 +0.118346 i @ 0.0007
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The island R2F(13/27B2)S
This is the largest visible island in the previous image; its R2-name is R2F(13/27B2)S. It has period 29 and is the 335th largest island in the whole Mandelbrot set.

-0.744567 + 0.121201 i  0.002, Nmax: 1000
-0.744567 + 0.121201 i @ 0.002, Nmax: 1000
    :m_, _ $@,___(@@___,m@F :mmmrmr7@@@@_$@@F*_)@@@bm,_ee, __, .__F@@@F\/CY@m$(a@b(@_@d^@eb@@C;, @@bm@Yb/F/Y$md^^^"* '*^ ^@@'%_Y7Y@*)__., .__%F@@@@_m@-*"^"` :@FaFYv@@@@- _me.m@@__Y(^Td@@@ , , ]@m@$@F@, @@@@@@dF^C*-"^ .adm@me, "*Ybm@^$` _%*@@@dbm@@@e .mFF^.,,Tb __@mm@@@@@m- F' (@L,:@F""^ -(@d[ """` ,:^T%"@Y@"^` YYr--@r*^^ ./@@@_, . _ -YdFe/b:@" $b.'"%____ ""\b@@e@m_@@@"ba@@@@bc /TrY@@@@@@, '*"db@b*bd@@F/FF^""^ ^`"Y@*@^^` @@F"**Y@F C`_dd@c ' ^ @$F@* `^@` _., *"\ad@@Lmc ad@@@@@Cbbb- '^^^^^^^^^ -0.744538 +0.121200 i @ 0.002, Nmax: 1000
Spiral in R2F(13/27B2)
(Page 18, figure b) This spiral feature is called a tail or Shepherd crook. The prominent spiral tip is R2F(13/27B2){FS[2]FS[0]}x~

-0.7445366 + 0.1217208 i  5e-4, Nmax: 1500
-0.7445366 + 0.1217208 i @ 5e-4, Nmax: 1500
.,, ]@@%_e_e ___ ,._ '@@@F**@@Y@r @@@mbd@e, _a@@@m@,-"" . .._ .am""C@^%T[ ., :mmL,.,_ 'b@@@@@@@bmdr@me/@@_,_ '^C@@m@mdbemmr@/-T@@@@@*-e Y@@@@@@@@F@C$b,d*Y$(@bc T@d@@@@@@@@$@$@r%$e*^ *" ]@@@@@@@FC@m@_'C@F^` ac __,,"@@@@@@@@FC\d@.dm@@- -d($@@C@F%%C_(CY@@F` "^%\ T@@@@@@@@(@L/)@$C@m,-mmdb($`$"b^*Td@@^^*Y@,.me, ^` :@@@F@F%F*"d@*` `'^Y_^***"`^@@@.mm*` :_v/b'Y@[ ._a@/@ma@@L:r/(_, Y%_@bmre, ^^m"*:@C_ '"mm@b_, m_,*@@@**`'*@*/@[Y@\e.,^^*@_'"`. vd@bvd$b@m, '@F^^) ^^*m___ae, .-@ead%@@@@m_ '"\mmdm@bed(b@@@@@e 'be^,, @d_$C@;'"` _.$@^Tr@@@@@@@b, '""@b"(b@@@@@@@@ '"@@[ _'^^^"*mmmmd@b@^@F@@@@@@@@L m(@@@YF "[ @@mm_, '^"^^*F'^` -C/@$@@ ^$@~"" @@@@@@Lc ^"Y` @@@@@C)r *$"@@F@* ^**@b     -0.744 539 8 +0.121 723 8i @ 0.000 5, Nmax: 1500
Here we see several patterns resembling the center of a sunflower or a peacock-feather "eye".

-0.74453892 + 0.12172418 i  1e-4, Nmax: 2500
-0.74453892 + 0.12172418 i @ 1e-4, Nmax: 2500
]@@@@cY7`'@%@@@e__ ./bFC@@@@@@@@F$F\m@@` ""*[ ^%@@@` "F@b@:Cv@@@, abYbYY@@@@@F@\*@;\$:mree_, *^' -**'vd@$Cbm /@)@@@/@@bCC$*"@b"L@@@@@[ '*^Yd@@e_ '*\@"C$d@@%*"@m,e@FF*F@[ '^'@Y@e_ ^`^*"Yb-Yb-**@- '"*` __.__e '^@d@\_, _^@@F**@e, 'YbF@b__ d@@- .r-$F '^^/Td@@;,.., '-YY$L ^^^ .ed@@"*@*Ta@@__:m_,._ _ $@d$ac._ .,.'^*"\m\@vm@@@*b/@F@YF@m@_._ '"-b@$/@reY@@F^%T@F*@)m\a@@d^"*^^*"@TYd@ "^^"@@b(L/@r_%^@*@F*""^` ^ _, 'Yd@mc '*^'"*@@@C^\@"^.d@@b .a/Y\- :@CL '**`"mY$@e@"YC -Ybd^_ad@F^ -%@@FYmaLme "*Y**"^` e, _,, ^^`Ym@eC*m__ "^c@@L. __, .@@@*d"@@, _ m_-Y$*^)d@,,. '^`'Y@@@7$d@[ ._, . $*/^m@eaCF")d@` :@*"L@@d@^\]@@_, adr.., ~@b"FCe'/Y)/%**emm ^%@@@(CL@@^%e"@@@@` /*$mc@@;%beaF@:d@Fe.,, ^^`"*@@@@*-L`d\dc, '^^^^^^^^^ ^``'^` ^^^ '^^`^'^^^^^`` -0.744 539 85 +0.121 723 77i @ 0.0001, Nmax: 2500
A "double hook" and island.

-0.744539761 + 0.121724001 i  6.25e-6, Nmax: 10000
-0.744539761 + 0.121724001 i @ 6.25e-6, Nmax: 10000
.a\@$@TTm_ "***"` ](@@_ a_/@$@@c,a__._a_ee, :@$[ $@@ ^*^""*@me,_ ., -m@@dYm_"@@)"*@"~@@@*F*^.~@ _@@^ ^ ____,^*@Fmm@mm"T@[:-'be_aF"/-**^^YC` ^._d"`., " :dF:d` ^TLY@*^"(%_/@d@d@mL@@bmd^`/`m@_,@@" ([ r ]@e, , (@@@`:@^,@F@$@@@@@@@dbdd$F@_^**C@@- '` @` -@F@:@ee_d^`_:@@^~m@$@@C`^@@Y@Y@@@%Y""\/*Y_a,_ C` __@@/(^..^"@@*/%/@@@@@F"^ '*Y@@LFd^'@@@@Y/[ ^@FY@c'mm_@%/mC$F@@@` '@@b$"@r-,T@F" __/mm@b_%%L_@@]bC@d@@@@@` -Y@@@F$ed)*`,, md@@FY@;.r~T@~d@@@@@*^^^Y ^@@@m*F`:@@C, ^`^^"@@b $@^-F@@@@@[ . .@@@vT@m,^YY, rv, ^^)v@(d@@@@@@em_,___db,, .:md@@Cm_%Lm@@[ e%__ad@'""@*@@@@@@@@@b@@@@@@bm,_L_,'-@@@@FC@F`mm,"" '^***Y@@*aC^@b()**@*@@@@%FYY@@@@@@@m_@@@@^C^%e'$Y@@` ._,, '.$@F_%_,]@*"$Cm(aCL"FL**@"/@*@@@FF@/*"-vd@@@@c d@@b, $@@*Y@)]@-L"^^'YF^`Ym@%b%b(@C@$/T@ amm, '`^T[ *@@@` _@*^ _@maad@)'L""*^__^Y[.dF\a^dL_@Y), m-.[ ` :/@`.m(r .$Y(@@@\_dYm_mm@@m'*m_a@@m"*YF*@be,'^^` .__@@" ^"md@F*"`'" '%@@b(Y*"" '@C$@"` '"Ybma, r(*@FYF, ^^'m$d- __ -@@" _mmmm_ '^*[ C@Ld"(d@_ _,_.___e_,_ '@@b, ]@*`_@* -_@@@@@@- - ^``^^'^^^`^^^^^^^^^^^` ^^` ^^^^^ '^^^^` -0.744 539 859 +0.121 723 774 i @ 6.25e-6, Nmax: 10000

The original Scientific American sequence ended at this point, illustrating the existence of small decorated Mandelbrot sets within the details of the whole.

This island has period 43 and is 7 steps away from the period-29 island shown above (which is R2F(13/27B2)S).

At each step there is a very small island of period N+1 (located in the largest lobe off a peacock eye on the outboard side of the spiral), and a significantly larger island of period N+2 further towards the spiral tip on the inboard side. This is done 7 times starting at the period-29 island, and so the R2-name of this island is R2F(13/27B2){FS[2]FS[0]}x7S.

-0.7445398671 + 0.1217237421 i  3.906e-7, Nmax: 25000
-0.7445398671 + 0.1217237421 i @ 3.906e-7, Nmax: 25000
    , ., '` \_ 'Fe (@@e :b@db, ]@@@@m, :@@@@@r, (@@@@@@C, .$@@@@@@@b,, d@@@@C@@@@Cd, /@@@@@\)Y@@@@Le, .@@@@C@Y7^@@@@@@`. ,md@@@@@%mC7@@@@F@@), ./"@@@@CF$CdYm%@@@@@@C_a, ad@d@@@@C"F$\m%^@d@@@@@@@@e, .,'Y@@@@@@@@$F%7[_"Y@Y@@@@@@` ., adbm@@@@@CC@mF*CLYr*dmY@@@@@bbd@b_, ^^^^^^^^^^^'`^'^''`^ ^^^^^^^^^^^^^^` -0.744 539 860 3 +0.121 723 773 7 i @ 3.906e-7, Nmax: 25000
The south half of the island's own seahorse valley. The name of this cusp is R2F(13/27B2){FS[2]FS[0]}x7S.C(1/2)+

-0.74453985651 + 0.12172377365 i  3.072e-8
-0.74453985651 + 0.12172377365 i @ 3.072e-8
]@@b ^**@@-._ (@@@C%/m_dddYF$@@@@@@@@@@@@@@@@bc "@" ..,,'@e-(a*^,^'YFme'$((@/$@@@@@@@@@@@@@"^ `` "* -d@@@c'@m___m@b.F^'^/@%b@@@@@@@@@@@d@@*` /, vmmdF@"^ -YC@@@\adL"-**@:Y@@@@@@@@@@@@@@mm_,_._da_ m*"*Y@C :r.@F"'^ @@@@@b.*"@@@@@@@@@@@@@@@@@@b@@@@@C, C .__/"m,^^`__a_, /F`'`@(%^FY*@@@@@@@@@$@@@@@@@@@@@` b -@@*_"Fbb(@@@@@ ]L'*"^^T@d%^d%T@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ ^_aF@bC^"@@@b@`^ :@bvmFF:(^^d~:@(Y@@@@@@@@@@@@@@@@[ "Y@@@F^ *@@ .v,a@F**"m@'`**@@d\(b@@@@@@@@@@@@@@@[ ._TF aame,'Ye,^"^.._,'$@*@).@\F@@@@@@@@@@@@@@@@@@` md`^._/@@@@@ 'Y@ramY@Y*.F_,aaL*v@@@@@@@@@@@@@@@@F^^, m/"@(@@C$; 'Y$T@@Fea@L'^^^*%\@$@@@@@@@@@@@@@@@b@[ @mmF^*"(dC,-r-_@F" ^ @@@Y@@c]**/@@@@@@@@@@@@@@@@@@[ F@F` ___'*b,^^^`.___, 'Y@`,^.@dd^@YF@@@@@@@@@@@Y@@@[ ^*@ -@@@F :@@aea-@@@@L /L'@_m***b["*Y@r*F@@@@@@@@@@[ '[* .%@@e-a@dd@d(Y*"*^ T@m.aame'@F*"/%^d"@@@@@@@@@@[ -vmmmFY@** '""d@d- ., "@%@b@^%d`m_dbd%^@'$@@@@@@@@[ m, '*T@F ^Y@c @F_d@*`^`^@@e__`^b)$%F/F@d@@@@@[ Y\ .m.@` ._d@bm, *@_ ^^ __a_,:d@*YF`a*Yr$\@@@@@@@Y@[ **me^^ _ad*@@@@` *@dvmmY@FF`aF__._@,*vC@@@@@@@@@@@[ :mm,"@F@@@F$* ' -*@%b@@@m_m@-'"**YY@a*C@@@@F@@@@@[ '^^ ^'^^^^^`^ '^`^`^` ^^^^^^^ '^^^^^^^^^^^^^^` -0.744 539 860 35 +0.121 723 773 65 i @ 3.072e-8, Nmax: 200000
A couple of the island's own seahorses are on the right.

The filaments on the left are all part of R2F(13/27B2) but are not part of the island's mu-unit.

We will now zoom in to the filaments on the left, and find one of its "double-hook" features.

-0.7445398603558 + 0.1217237736544 i  9.6e-10
-0.7445398603558 + 0.1217237736544 i @ 9.6e-10
  ., _ _@F)____ .a@m, _a, ____/@@@@F@")@@@@_., $@@md@@L^@@@@"$/"YF@@$F",_mmc .ad$Y@@\C~*med@@(*Lm@L:@md@@@F" ____/@YeaY%"@@@m'^`"^ ''FF'(_Y7C@$r ^@d@@@FL%%L^^ ^` ]@FadCaL___ d^7Y@*T@@Y" . -bm@@@F*` ]@)m/bF-"` ._mdmb, "Y$(*Y) ._mm@@@@em@@@e -d@^]m/F -m@m@b@m, ^***Y@$""@F -Y@L_ ' , _aed"@F^^` .:@%_^dFC__, '*@@mvmdd)F@@@[ T@%@bad@@*^ '""@@**@F^ ^ .med@@@b@"*@c '^***YF*@.@"_mm_ -@emd^^a@@@^ 'T@b@@F@m**@-____ _rT@@@@$m,Cd:d@@* /F@@F(%`^)"*]@@@@mc .__c , ' 'bm@*bm/*b^^%Yc:@@@C_., .mdb, ^^'^^^^^^^ `'`'^^^^^^^ ^^^^`^`^` -0.744 539 860 355 8 +0.121 723 773 654 4 i @ 9.6e-10, Nmax: 2500

-0.74453986035590 + 0.12172377389443 i  6.0e-11
-0.74453986035590 + 0.12172377389443 i @ 6.0e-11
:/*Y._mm, '^C@Y@@@@@@@@@$("@e$Y"$$@@@@b, ;__)@@@C_ ^T$C@@@@@F@@C$(@(@"`"@@FYY@CF @%"T@@@@*emm- '^d@@$@@$d$\@%F"C@d%^` '^" *C_m@@,@7@@@m_a '*-@^@C$@/)YC^^"^ '^"@F'*YbYC@Ymac '` '` ^` "*"@@Cmm,_ ^^mF@@@L,_, ...____ ]@@@%b@@_,.a___.m__am_,me . ._m@@*^^Ye ^-@r@YYF^\@@@@%*@$(@$d@@b@L ]@@@, *C/" -@@@`a-@"*"*@m@;""` ^ ^'*@@m- ]@@@L, ,_._a-vY@@@%@aF"^` __ee, ^b@L \@@@(e,m__F@FF/*"Y@YF^%mm, m@/"`_d@@ '^^Y@b@d@d*_@@@@*-L~`/@@C^ ^**b@F*" ^^ ^"@"'*Y@@"Ld@@@%F^$.__ '"^ ^%@@@Fb@@@b,., '^^'*Y@@b$[@be._, ., .m, **^\@@@b@~@F\/@@mm_T@[ amm, __ "*"\Y@@b"Cd@@_bb~` \Y@@mme_d@L__.m, __ 'Y*^"*@@@C^]F[ ^.@F7F_^/F@*"]@@/ed@_,__ (@*`^**` __)dF(@mF*~@b~"@m_C@^*@@e,__ ^^` '^^^`'^^^^^' '^^'^^'`^^ -0.744 539 860 355 90 +0.121 723 773 894 42 i @ 6e-11, Nmax: 7000
At the center of this double hook, instead of another island, we find an Embedded Julia set.

-0.744539860355905 + 0.121723773894425 i  7.5e-12
-0.744539860355905 + 0.121723773894425 i @ 7.5e-12
]"\@^` :_mF@^ dF_@` .a@@m `*Cb@FY@@@m""` "@F" '@C@@, ^^` _]d@@m '`^^^" ^ @@ vm@@/Y[_, '@$(*[., aCd""d@F :ama@b%@@@@F, , :mmd@@)@%@@@e,'Y@@@@*"@@$@b,a@r,_:m_,@mr@c '**@@@$"`.._^Ye,'^`___,TF\/)@@@@F7*@$F*F"` .__aam@^`:@@@ ]C"`d@@bcm@@'`d,*@F*Yv\m@%^^` a, am___7@@@@%Y@_,""`_:@Fr%")r@%e/%%@bemre :@@"" -@; $@@*em@@*YF"^%%^Ym@"/Lb(@@@d@@@@@@aYL'^_d* ^` *d@m"@,$dbc '@%_d*"/mb@@@@@@@@@@@@F/@@*^.amme, ^^ "*@@@@c '@@Cv$C@@@@@@@@@@@@@@^b$L @@@@@,, ._ -@@@F`.:a)@(Y@@@@@@@@@@@@@F"*"F@e 'Y@*@*@eY@m- _ '..m/**@:@@@@@@@@@@@@@@%-@@,-m* .%b"@vd7L@$c @` __adF`:@_dC%@@@@@@%Y@Y($:(7*^*"vmmm@%@@@L-**Y[ ^ .,_*@@F@__,_;^Ybv'a%r\%amc^*@` adbc '(m/*"@@` _ma$F@$be@@@@@*F`d`r_@**^*Yb,:m$` TC@m_-""^ F)@FYY@-*"Y@@\cad@-'^___e_,"@e__,-dbd@@@@e, ' ^ ^"` "Yb@@"dY@@@@@ ^*@@bF~Y@@"^` m@@Y@^^@F^*^ d@F)FC^*` . . (m(C@m :@m@@F* _, :mm]@rve_, '*@Y%* _.. '^F@@; ^Y[ ^^'^^^^^^^'` '^^^^ ^^^^^ '^^^^^ '^` -0.744 539 860 355 907 +0.121 723 773 894 425 i @ 7.5e-12, Nmax: 22000
The embedded Julia set.

-0.7445398603559061 + 0.1217237738944253 i  9.375e-13
-0.7445398603559061 + 0.1217237738944253 i @ 9.375e-13
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Inside the embedded Julia set. There are two large features that look like peacock-eyes; on closer inspection they appear to be double spirals.

-0.74453986035590837 + 0.12172377389442482 i  8e-14
-0.74453986035590837 + 0.12172377389442482 i @ 8e-14
]@@c `'^ __, ._ ._dC_dFF@bm-d@__. am,_amm%@@@@^@%@mF$@@@@,. ._ _ -@@@d@(bmdC^@@@- ^ ` ^@@@, . .@mb__aemr%Y@@@*@_%%%; ._rv,:@@, _, dde_mm(@@@@@*@% `dCbF*"d@@** ]@e%_a@* @@md[(@@CFLa@@C*b@**b/**"__,-@F '^*^^` md%@@C$YL$$m7)-:@(b,:m"TbmdF/Ld"____, -c *@@$"*Y`'^T*`'*@@@@b '@$@@@bCF`-@@@@;, .. ._._mmm- L^^^ m@@@"_/Fd@@@@**e "@*@/"e(@bmeF@@^b(@[ ` _ '' _d`meF"^*e7^,_@*b_%/)^bbd*b@@@r*` .-mdm@m_ .__@@,._.d@@ T@@Y$@d@F;$F@@@F""`*` _@@`:-/@ '@@@@$(Y@@d,m.m@$F*F@@'^` "*` /@@, ^^ _,_mmmm_@@@@@@e^`' '*"- 'Y@@m_a_.e_%@*)m@\/bd*^C@C ]*Y@@b\$bdFd@@@b^` -*^"^@@'^`'""   :mec '^^` -0.744 539 860 355 908 37 +0.121 723 773 894 424 82 i @ 8e-14, Nmax: 15000
Within the EJS is this double-hook.

-0.744539860355908380 + 0.121723773894424824 i  6.0e-15
-0.744539860355908380 + 0.121723773894424824 i @ 6.0e-15
__.d%")mc mm@@@"*@F:@@Y*@@` ., mm%@L _,_, ._ 'Y@@@$F**m_'"*"`avcb^*`am'@ :@@mm-v/@^ @F@br/@mdd^'@@b avr^@me_dFvr*@/@[_a@,'Y@@@@@@@b `T@$"@@@F*m_"*`.@be-@*%)%a@@@@@@bF%*ee___,:bC@m _, _/@b@`:am'"bmdTFm^)d(@@@@@@@@@@@@%%Y*`-\d"^ Ym@@_, *Y@@" -@m_**`(^*@@@@@@@@@@@@@@@@@"m"(bd@`]@@@@FFY; m_mmme_edY[m^@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@db@-\Ybe__,,^@@b[ YC :-_**m$@@@@@b@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@b@b%%@*`"`.d*` @@b,^@7@@@@@@@@@@@@@@b/@@@@@Y@@@@@@@@@@Cm/~dmmm"\am, Ld%/(@7@@@@@@@@@@@@@@$F""_$\T7*@d$d@@@@@F@-c@@; (@@[ @^'@_/~C@@@@@@@@@@@@@r"C@@@@_^Y@@@@@@@@@@@$CFY@e_'*[ C@e ^*C@(*$Y@@@@@@@@b*v'@YF**(7@@@@@@@@@@@@$/%e/d_d[ @@@`aa@b%"bY@@@@@@@$@d@b)L_d"@d@@@@@@@@@@@@@@mF"\m_c '^.aF^`^(r%@@@@@@@@@@@@@@@@@@(@@@@@@@@@@@@@@*"*v/"@` _/@C *%m@br/F*@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@Y@YcL@b_%La@[ C7@\e___,^@@%^Y)(d@@@@@@@@@@@@@@@@Y@@**\%db"^'d%^^ ` -@@@@***`a*"*(/^$@@@@@@@@@@@@*@@Y@YeCdY`.7@ .@@@@ '**`C_md`'%a@br\YC@@@@@@@@@"F^$(L@m^^""d^`_a@F*c_, :"@C@e__,,^'@dCFFY@*Y*\ddm@C,dTF d@)'T@@@@b(C@mc '*@YFY@@@@c]F\,$*"YF\"@^ ^"Ye^^_.@@b/"*^"*`^""*[ :/@C%/^^*"`:@_^am@cYd^\ad@be'"Y@@"@@** '^'`` '^^^^^``^^^^`^^^` '^`^^^ -0.744 539 860 355 908 379 +0.121 723 773 894 424 824 i @ 6e-15, Nmax: 30000
All Embedded Julia sets have paramecia; this is the central nucleus.

-0.7445398603559083806 + 0.1217237738944248242 i  7.5e-16
-0.7445398603559083806 + 0.1217237738944248242 i @ 7.5e-16
:_amd@@FFY ___eae_, ^@@C, d@@) $@F**^^` :_a@@@"^^%Tb -@@L .@@@, ____d*@F@` """` -@@@, :@@` _ ._ _ ._ '@@@@@F%@mc __$@FF` ~@[ __mmdrd@md@mm,@@mmmrv"@@b@*@@, .__._'*@Y@F- '^` @*""^*^**Y@Tb"@YCb@L,m@@`___"@ ]@@d@C%@%@L, _.__, ^^]mm$@^`_%*e%__@,^.@- "****C@@@*" /@^@$[ a@@@@ ]@%a@(@@$@7@7@m_mm_.$@$@c :@@c ` , ^""^_._YF@b@@@@@@@ddbFL:%m"``T(amm T@@mm_ademm)***Y@"$$@@@@YF@@@@@r%@" @@m@@@@C, '^"@@m@^@$^ "%_/Y(@@@@C@@@@$@@@@(Y@m_ ^@CF*F$md- ^^^bC@b@bm_,^Y$/C@@@b@YF@d@@@@"@e-"`.db@(Y$@@bm "d@@Y)"*"_@*m$Y@@@@@@@@@@Fm\@F**"^^^^^ '^"Y@r `^ @LmmF`memb@YLF@F@@@(b*@@`.ad@mc _/_'@) _*@@@b__^^'^Y@*~db@"Y@/eF -@@@C '*m)/* *@@@@dC@@@b,T@'m/":am^"eeadb@^$:mc_, _a, _m@/)-**"@F`-@m___d@@`,d@$@@@C$b@$dbmbdbd@[ ar *@Y@@*` _d@@@C@@@@^^^^~*F ^"*^^*^""^^ @@m- m@b@" _._ '%\b"@F"F` *@@_ -@@F -d^C` _$@@@@; .____, -Y@C_ "@$_ "bmmmd@YF`' .,_vmd@@@@c '^^^` '^^`` ' ^ '^^^^^^^`'` -0.744 539 860 355 908 380 0 +0.121 723 773 894 424 822 4i @ 7.5e-16, Nmax: 50000
The nucleolus.

-0.74453986035590838081 + 0.12172377389442482421 i  9.375e-17
-0.74453986035590838081 + 0.12172377389442482421 i @ 9.375e-17
]@@@@@@@F@/FL@mC$/(%"$"@F~b@bm*@m'"Y@a*$@@@@@@@@@@@[ $@@@@@CF@7(bmm,:@CF*"'""*e_,^*md%_a@@d^Yd@@@@@@@@@@[ @@@@@@b^(em@d%_mF^` ._e.^Ye ^^"""^*"@m%@@@YF(Y@@[ @@@@@@@[**^^^^^ ._:dF,^`'@@_ ^@F]de)T@*@@[ @@F@$YT@mr-***bmem__F@)*\,ddbY@ramammmv,TL "@@_mb~\[ Yd$")@^^ .F*-:$@F"@(*_C\@e_m-@-/*Y@` "^:F '@;m@`Y), d%bd@L @@me_%*`/md@@dbd@bd%@r("a"mm_b@` "be__/*- "_,'@@ m@@C:m""Cd@@@@@@@@@@@@@@@ad^"@F- ^*Y$C:; dF*.@^ :_a@dC_@d@@@@FF%Cmm@%@@@@@@/L$(%@mc_ '*(a[ a@@" .ad@@@C-L/b@@@@T@@@@@@@@@b*@@@@@b(^Y@@@m, ddb%[ T@`.d"%_ -**.dF@@@@F@@@@F`:@@@@F@@@@Cvd"C``.dFad".d[ @mmF` YC_mm"\_@$@@@@(@@@@@m@@@@Y@@@@(@e'@@__em*`a/@- Cm*^ '"Y@bmc@@Y@@@@%@@@@@@@@%d@@@@/e/_d@@^` aaF*Yc @/@@,, ^^bm^vaC$Y@@@@m@%@@m@@@@@Y'\-@eC; .d['Y*` d\dbYbm, ^@@@me:)-@@F@@@@@@@@F@@$*-^a@@@, -Y@a_m[ $@,._/TL .d*^ ^`@/*%7)"L@@@")*"L*`d@" ^'@c m@@^$/; emL/@Ld@ ]@ (L_d@@@CLb^%m_Y/"a@d@@@@m_'*"._amvrmd)@[ bda@d,@@e Te '^^` ^ "F@@"^ *@@F" '`'^^""^^^^Yb@@@@@[ @@@@@drdYedY[__ _ , 'T@,:maF^ _aamrmmd@(@Y@@@@@[ @@@@@@@@@@@@[Y@m@bY(m_,^*m_..,.__m@F`:m_@_:C@@@@@@@[ @@@@@@@@@@@@@`e*F .mc^@m__'Y@"e*F*Y@__%%@%)@@@@@@@@[ ^^^^^^^^^^^^`^'^^^ ^^^`^^^`^^^'^^^^'^^`^^'^^^^^^^^^` -0.74453986035590838011 + 0.12172377389442482241 i 9.375e-17, Nmax: 50000

-0.74453986035590838012 + 0.12172377389442482241 i  1.172e-17
-0.74453986035590838012 + 0.12172377389442482241 i @ 1.172e-17
]F@@@@@@@@^%F\md@)C)db@@@d@d@@@d@$@*@CLe^"YY@@@@@@@[ $@@$@@*mrmm@Y/bm@@@@@@@@YFY@YFY@@@@@@be@@C7[*$@@@@@[ @@@*bL_@b@dd@@@@@@@@@bd@@@@@@@@@@@@@@@@@@d@@m_/Y@@@[ @@":L@C@@@@@FC$b@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@C@@@@@Cvd'*@@[ L^aF@b@@@YC@@@@@@@@@@@@**"**^$@@@@@@@@@@@$@@@C@"vFY[ ]bd\@@@@$@@@@@@@@****" ^Y@YY@@@@@@@b@@@@$@`"[ m@b@@@Y@@@@@@@F`` '__:@@@@@@@$@@@/$"e[ da@@@Y/@@@@@@r T@@@@@@$@@d@@@F/d"[ /@@@@@@@@@@@@` :@@@@@@@@@d@@@F/@b[ d@@@C@@@@@@F*" amd@@@@@@@@/@@@@7ed[ F@@@(@@@@@@b,_me ..m@@@@@@@@@@@@@@b\@;[ $@@@C@@@@@@@@@@@m . _ad@@@@@@@b@@@\@@@@rY^^[ @d@@@dY@@@@@@@@@@m@mbmmmm-` '*@@@@@C@@@^@@@@7/F^[ vC%@@@@C@@@@d$F@@@@@@@@@@ -@@@@@@@@CT@@@@d7b,[ e/FFF$@@@d@Y@@@@@F@@@@@@bc.,__.ad@@@@@@@@^@@@@Y@bF\[ @L**bd@@@@@@@$@@@@b@@@@@@@@@@[_d@@@@@@@@@@@@@F/d[ @[ @@)e]F*/^Y@@@@@(FY@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@$@@FF7b)@v@[ @@@$e/""*@mY@@@@@@@$@@@@@@@@@@@@@@@@@@@L@@@FF@^.m@@[ @@@@@@)r,F%/(F@@@@@@@bb$@@@@@@@@@@@@@@Y@@@@)m@Ld@@@[ @@@@@@@@@@e.'Y@-]Y@F@@@@@@@C@*@@@@@@Y@@@@"$F`r(@@@@[ Cd@@@@@@@@@C@e\"**v@\C*@*@@@@@@@b@d@@@@@)""bd@@@@@@[ ^ ''^^^^^^^^^^^^`^'`^^^'^^`^^^^^^^^^^'^^`'^^^^^^^^^` -0.74453986035590838011 +0.12172377389442482241 i @ 1.172e-17, Nmax: 250000
This island has period 1312.

Seahore Valley Islands

Here are the first few islands in the sequence R2F(N/2N+1B2)S:

Rank R2-Name period Area of Island Coordinates
6 R2F(1/3B2)S 51.7621(15)e-5 -0.04332 + 0.98630i @ 0.01259
10 R2F(2/5B2)S 79.9155(63)e-6 -0.530101 + 0.668180i @ 0.009447
16 R2F(3/7B2)S 95.5912(42)e-6 -0.650450 + 0.478065i @ 0.007094
18 R2F(4/9B2)S 113.1257(30)e-6 -0.694716 + 0.368453i @ 0.005304
32 R2F(5/11B2)S 131.7841(16)e-6 -0.715175 + 0.298825i @ 0.004007
48 R2F(6/13B2)S 151.05522(65)e-6 -0.726129 + 0.251068i @ 0.003082
72 R2F(7/15B2)S 176.4982(45)e-7 -0.732630 + 0.216394i @ 0.002418
102 R2F(8/17B2)S 194.1631(34)e-7 -0.736790 + 0.190113i @ 0.001936
127 R2F(9/19B2)S 212.7639(27)e-7 -0.739610 + 0.169522i @ 0.001577

Computing π in Seahorse Valley

An approximation to the mathematical constant π ("pi") can be calculated in the following way:


π ≅ ε Dwell(-3/4 + ε) ± ε

where ε ("epsilon") is a very small value, like 0.0001. For example, Dwell(-3/4+0.01i) is 315, giving the approximation π≅3.15. The following results were computed using 107-bit precision:

C Dwell(C)
-3/4 + 1.0 3
-3/4 + 0.1 33
-3/4 + 0.01 315
-3/4 + 0.001 3143
-3/4 + 10-4 31417
-3/4 + 10-5 314160
-3/4 + 10-6 3141593
-3/4 + 10-7 31415927
-3/4 + 10-8 314159266
-3/4 + 10-9 3141592655
-3/4 + 10-10 31415926537

Dwell(C) is the number of iterations for the normal Mandelbrot iteration to "escape" with a normal "escape radius" of 2.0; see Escape-Iterations. The numbers (3, 33, 315, 3143, ...) are Sloane's integer sequence A097486 (which I have corrected and extended) The sequence is calculated easily in any language that handles floating-point complex values. Here I am using PARI/GP, and the first long line of input should all be typed as a single line:


? A097486(n) = local(a, c, z); c = 0.1^n*I - 0.75; z = 0; a = 0; while(abs(z) < 2.0, { z = z^2+c; a = a+1 } ); a ? A097486(0) %1 = 3 ? A097486(1) %2 = 33 ? A097486(2) %3 = 315 ? A097486(3) %4 = 3143 ? A097486(4) %5 = 31417 ? A097486(5) %6 = 314160 ? A097486(6) %7 = 3141593 ? A097486(7) %8 = 31415927 ? A097486(8) %9 = 314159266


revisions: 20080216 oldest on record; 20091105 add list of sequence R2F(N/2N+1B2)S islands; 20091220 add {pi} calculation section; 20091221 add list of {pi} values; 20100107 add PARI/GP code; 20100907 optimize view nmax values; 20100919 add many notes, links and R2-names in descriptions; 20100922 add double spirals link




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